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Cálculo del coeficiente de equilibrio del ascensor basado en la interpolación de Aitken

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(a) Método de polígono
por Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou y Wan Jianru

El coeficiente de equilibrio es un parámetro importante para el diseño, implementación e inspección de ascensores de tracción. Tradicionalmente se ilustra dibujando curvas de datos de inspección de “Carga - Corriente” en el método de boceto o polígono, los cuales inevitablemente causan inexactitudes en su resultado numérico. Para solucionar este problema, este artículo prospera un método con alta precisión en el enfoque de la interpolación de Aitken. Además, para reducir el espacio de almacenamiento innecesario, se analiza en detalle la técnica de almacenamiento por compresión en el proceso de interpolación. Finalmente, el método se verifica con éxito en la plataforma MATLAB GUI, y las comparaciones con diferentes métodos muestran que funciona de manera efectiva en precisión y confiabilidad.

Introducción

El coeficiente de equilibrio es un parámetro crucial para los ascensores de tracción, especialmente en el diseño de ascensores. El rango adecuado de coeficiente de equilibrio de 0.40-0.50 es más eficaz para equilibrar el peso de una cabina de ascensor (cargada o descargada) y su contrapeso. Un coeficiente de equilibrio adecuado puede hacer que el ascensor sea más cómodo, seguro y consuma menos energía. En la inspección de un elevador de tracción, este parámetro importante se calcula trazando los datos de carga-corriente de viaje ascendente y descendente mediante gráficos. Sin embargo, en la práctica, es difícil garantizar siempre el resultado con bajo error, debido a la subjetividad. El método del polígono es otra forma de abordar este problema, pero su precisión está lejos de ser satisfactoria.

Zhou [1] presentó una solución de curva de regresión cuadrática, pero su rendimiento es deficiente, porque la curva no pasa por todos los puntos de datos de inspección. En consecuencia, aumenta el coeficiente de error de equilibrio. Chang [2] presentó otro método con la interpolación de Newton. Sin embargo, no tiene en cuenta el "fenómeno de Runge", que puede causar distorsión de la curva en la interpolación polinomial de alto orden. Por lo tanto, es difícil mantener un resultado preciso y confiable en cualquier caso.

Solución de curva de datos de inspección basada en la interpolación de Aitken

De acuerdo con el Reglamento para la inspección de supervisión de ascensores e inspección periódica - Elevación de tracción y accionamiento positivo (TSG T7001-2009) de China puesto en práctica el 1 de abril de 2010, la inspección del coeficiente de equilibrio ha cambiado. Se sugiere diseñar el coeficiente de equilibrio en el rango de 0.40-0.50 o para cumplir con los requisitos particulares. Como el automóvil lleva 0%, 25%, 40%, 50%, 75%, 100% y 110% de su carga nominal por separado, la corriente del motor relacionada debe registrarse cuando el automóvil funciona al mismo nivel que el contrapeso. Luego, se pueden dibujar las curvas de datos de inspección de viaje hacia arriba y hacia abajo de la corriente de carga. Tienen un punto de cruce único para el cálculo del valor del coeficiente de equilibrio.

Hay dos conjuntos (viaje ascendente y descendente) de datos de inspección, cada uno compuesto por siete pares de datos. Una forma confiable de mejorar el cálculo de la precisión del coeficiente de equilibrio es buscar un enfoque científico en la generación de curvas. Por lo tanto, se introduce un método novedoso de interpolación de Aitken para resolver este problema.

Esquema de interpolación de Aitken

El problema de la interpolación de Aitken generalmente se plantea de la siguiente forma: encuentre el polinomio L (x) = Ln (x) de un grado no mayor que n, cuyos valores en los puntos xi (i = 0, 1, 2,. .., n) coinciden con los valores de la función dada; es decir, L (xi) = yi, donde xi representa el porcentaje de carga y yi representa la corriente del motor. Geométricamente, esto significa que uno tiene que encontrar una curva algebraica de la forma Ln (x) = y = a0xn + a1xn ​​- 1 +. . . + unn que pasa por el conjunto dado de puntos de interpolación Mi (xi, yi) (i = 0, 1,..., n).

Aprovechando xi y xi + 1 como puntos de interpolación, aquí, podemos producir el polinomio de interpolación lineal Li, yo + 1(x) con dos puntos iniciales: 

Cálculo-de-equilibrio-del-elevador-Formule-1
(Fórmula 1)

Además, considerando Li, i + 1 (x) y Li + 1, i + 2 (x) como dos nuevos puntos de interpolación, podemos obtener el polinomio de interpolación cuadrática, que es, utilizando los puntos xi, xi + 1 y xi + 2:

Cálculo-de-equilibrio-del-elevador-Formule-2
(Fórmula 2)

Por lo tanto, una forma polinomial general L0, 1,. . ., n (x) de grado n que pasa desde los puntos de interpolación (x0, y0) a (xn, yn), con todos los puntos de interpolación n + 1 involucrados, se puede mostrar como la fórmula recursiva:

Cálculo-de-equilibrio-del-elevador-Formule-3
(Fórmula 3)

Este es el esquema matemático de la interpolación de Aitken. La fórmula 3 (la fórmula recursiva) permite derivar cada polinomio de exactamente dos polinomios de un grado menor en uno, lo que significa que es útil calcular en sucesión. Esta fórmula recursiva indica que la interpolación de Aitken es tan eficiente como la interpolación de Newton sobre la herencia.

Compresión de almacenamiento para el proceso de interpolación

Para simplificar el trabajo computacional, los resultados anteriores suelen estar tabulados. Para calcular L… (x), es conveniente utilizar la disposición de polinomios de interpolación de la Figura 1. La que se encuentra en la diagonal principal con subrayado es el resultado del n-ésimo polinomio en el n-ésimo paso.

En la tabla de interpolación de Aitken, los polinomios en cada paso se construyen como una matriz de triángulo inferior, que siempre se almacena en la memoria como una matriz de dos dimensiones. Sin embargo, es importante tener en cuenta que al calcular un elemento en esta matriz, solo se relaciona con dos elementos, uno ubicado en la esquina superior izquierda y el otro en el lado izquierdo. Es decir, todos los elementos son desechables, excepto los que quedan en línea diagonal. Por lo tanto, es aconsejable utilizar un arreglo de una dimensión tecnológicamente para la compresión del almacenamiento en el curso del cálculo de Aitken. La habilidad se muestra en la Figura 2, donde los elementos marcados en campos rojos se actualizan en cada paso.

Los pasos de la compresión de almacenamiento en la computación son:

  1. Inicie el contador de pasos I = 1. Calcule la primera fila en la matriz L, luego almacene los resultados en una matriz y_temp de una dimensión.
  2. Usando elementos ith y jth (j = i + 1,..., N) en y_temp, la Fórmula 1 realiza una interpolación para calcular un resultado nuevo, que luego cubre la ubicación del elemento jth. Por ejemplo, cuando i = 1, interpole con L01 (x) y L12 (x) para el polinomio previsto L012 (x), y actualice este resultado en los segundos elementos de la matriz y_temp (aquí, j = i + 2 = 1) . A continuación, calcule y actualice sucesivamente los elementos restantes L2 (x). . . Ln - 123, n - 2, n (x) en este paso.
  3. Actualice i = i + 1 y repita el paso 2 hasta que alcance el polinomio final L0, 1,. . . , n (x).

Curvas de datos de ascensores basadas en la interpolación de Aitken

De acuerdo con el nuevo requisito de TSG T7001-2009, la curva de disparo ascendente o descendente se inspecciona estrictamente en los puntos de datos de corriente de carga. Estos puntos también son puntos de interpolación de Aitken. Si se utilizan estos siete pares de puntos para interpolar directamente, puede surgir un problema: puede ser difícil evitar polinomios de interpolación de alto orden (hasta el sexto orden) en la solución. En algunos casos, aparecerán "fenómenos de Runge". Una oscilación indeseable aumentará el error de cálculo y afectará a las inestabilidades de cálculo. Ni la interpolación de Aitken ni la de Newton son una excepción.

Teniendo en cuenta cuidadosamente la inspección real, es aconsejable implementar tres curvas en segmentación, que correspondan con la interpolación de Aitken para tres grupos de datos: x0, x1, x2; x2, x3, x4; y x4, x5, x7. Esta mejora técnica no solo evita que las curvas de interpolación finales experimenten fenómenos de Runge, sino que también suaviza toda la curva, debido a que su orden polinomial más alto es solo x2.

Diseño de software

Para verificar la efectividad del método propuesto, se introdujo la GUI de MATLAB para ser programada, y se diseñaron varias funciones importantes, como las funciones “Interpolación de Aitken con compresión de almacenamiento”, “Cálculo del coeficiente de balance”, etc. El flujo del software es se muestra en la Figura 3.

Interpolación de Aitken con compresión de almacenamiento

Esta función es el cuerpo principal de la interpolación de Aitken con la implementación de compresión de almacenamiento. Después de una llamada a la función, devolverá una expresión f de su polinomio de interpolación, así como los correspondientes coeficientes del polinomio ay el valor de la función y0 (si se ingresa) en el punto de interpolación x0.

función [f, a, y0] = interpolación_aitken (x, y, x0)

sim t; sims n;

. . .,. . .

y_temp (1: n) = t;

para (i = 1: n - 1)

para (j = i + 1: n)

y_temp (j) = y (j) * (t - x (i)) / (x (j) - x (i)) + y (i) * (t - x (j)) / (x (i) -
x (j)); fin;

y = y_temp;

simplificar (y_temp); fin;

simplificar (y_temp (n));

f = recolectar (y_temp (n));

f = vpa (f, 5);

si (nargin == 3)

y0 = subs (y_temp (n), 't', x0);

factores = sym2poly (f); demás;

factores (1: n) = y_temp (1: n);

factores = sym2poly (f); fin

Función de interpolación de Aitken

Según el análisis en "Curvas de datos de ascensores basadas en la interpolación de Aitken", todos los puntos de datos de inspección deben segmentarse en tres grupos, x (1: 3), x (3: 5) yx (5: 7), para ejecutar la interpolación. independientemente:

[f_up1, a_up1]=interpolation_aitken(x(1:3), y1(1:3));

[f_up2, a_up2]=interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5));

[f_up3, a_up3]=interpolation_aitken(x(5:7), y1(5:7));

[f_dowm1, a_dowm1]=interpolation_aitken(x(1:3), y2(1:3));

[f_dowm2, a_dowm2]=interpolation_aitken(x(3:5), y2(3:5));

[f_dowm3, a_dowm3]=interpolation_aitken(x(5:7), y2(5:7));

Función de cálculo del coeficiente de equilibrio

El coeficiente de equilibrio es el punto de cruce de las curvas de datos de viaje ascendente y descendente. Llamado "coeficiente de equilibrio", se puede calcular encontrando la diferencia entre estos dos polinomios algebraicamente y buscando la intersección con el eje horizontal.

bandera_resolver = 0;

a_delta1 = a_up1 - a_dowm1; r1 = poly2sym (a_delta1);

. . . . . .

si (subs (r2, 'x', 40) * subs (r2, 'x', 75) <0)

x0 = f cero (r2, [40 75]);

     flag_solve = '2';

elseif (subs (r3, 'x', 75) * subs (r3, 'x', 110) <0)

     x0 = f cero (r3, [75 110]);

     flag_solve = '3';

elseif (subs (r1, 'x', 0) * subs (r1, 'x', 40) <0)

     x0 = f cero (r1, [0 40]);

     flag_solve = '1'; demás;

     flag_solve = 'sin resolver'; fin;

si (flag_solve ~ = 'sin resolver')

     si (flag_solve == '1')

     [temp1, temp2, y0] = interpolation_aitken (x (3: 5), y1 (1: 3), x0); fin;

     si (flag_solve == '2')

[temp1, temp2, y0] = interpolation_aitken (x (3: 5), y1 (3: 5), x0); fin;

     si (flag_solve == '3')

[temp1, temp2, y0] = interpolation_aitken (x (3: 5), y1 (5: 7), x0); fin;

. . . . . .

final

Aplicación

Interfaz de software

Para verificar la viabilidad de este método, se desarrolló un software basado en MATLAB GUI. Su interfaz se muestra en la Figura 4. Después de actualizar los datos de inspección de "Porcentaje de carga - Corriente del motor", generará el coeficiente de equilibrio y la expresión de las curvas de datos de disparo ascendente y descendente.

Comparación

Para verificar la ventaja de la interpolación de Aitken aplicada en el coeficiente de equilibrio del ascensor, las comparaciones se realizaron con el mismo conjunto de datos. Los gráficos de las curvas de datos de inspección se muestran en la Figura 5.

Al observar la Figura 5 (a), podemos encontrar fácilmente que la curva no es brillante en absoluto. Al observar la figura 5 (b), podemos encontrar la otra decepción: el fenómeno de Runge en la terminal de la curva. Esto también aparece en el análisis anterior. Estos dos problemas empeorarán cuando el coeficiente de equilibrio real se desvíe del rango de 0.4 a 0.5, reduciendo la precisión y fiabilidad de los resultados de la inspección.

Como se muestra en la Figura 5 (c), las curvas de datos de inspección generadas en el método de interpolación de Aitken no solo son lo suficientemente brillantes, sino que también están desprovistas del fenómeno de Runge. Proporciona una mejor precisión de la solución.

Resumen

El coeficiente de equilibrio es un parámetro importante para el diseño, implementación e inspección de elevadores de tracción. Este documento presenta un nuevo enfoque para dibujar las curvas de datos de inspección, que aplicó la interpolación de Aitken, lo que resultó en una alta precisión y confiabilidad. También se discutió la compresión de almacenamiento en computación. El método se realizó con éxito mediante la programación de la GUI de MATLAB, y las comparaciones de curvas con diferentes métodos mostraron que se desempeñó de manera efectiva, tanto en precisión como en confiabilidad. Este software fue conveniente para los inspectores, mejorando la eficiencia de su trabajo.

Acknowledgment

Esta investigación cuenta con el apoyo de la Administración General de Supervisión de Calidad, Inspección y Cuarentena de China - Proyectos de Financiamiento de Investigación Especializada de la Industria Sin Fines de Lucro (número de proyecto 201310153).

Referencias
[1] Runjia Zhou, “Análisis de regresión sobre el coeficiente de equilibrio del ascensor”, Construction Mechanization, 1989, p. 6.
[2] Zhenyuan Chang, "El cálculo del coeficiente de equilibrio del ascensor con el software", China Elevator, 2012, p. 47-49.
[3] Cleve B. Moler, "Computación numérica con MATLAB", Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, EE. UU.
[4] D. Kahaner, C. Moler y S. Nash, “Métodos numéricos y software”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1989.
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Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou y Wan Jianru

Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou y Wan Jianru

Huang Shaolun es un estudiante graduado con especialización en Ingeniería Eléctrica en la Universidad de Tianjin en Tianjin, China, y obtuvo su título BE de la Universidad Southwest Jiaotong en Chengdu, China, en 2011. Los intereses de investigación de Shaolun incluyen conversión de energía, controladores de motores de ascensores y tecnología de ascensores.

Luo Zhiqun es ingeniero jefe del Instituto de Inspección y Pruebas de Equipos Especiales de Guangdong en Guangzhou, China, y está a cargo del Centro Nacional de Supervisión e Inspección de Calidad de Ascensores en Guangdong, China. Zhiqun también es estudiante de doctorado en la Universidad de Tianjin, y su campo especial de interés es la técnica de inspección de ascensores y la electrónica de potencia.

Dai Qingyou es ingeniero e investigador en el Centro Nacional de Supervisión e Inspección de Calidad de Ascensores en Guangdong, China, y su campo especial es la técnica de inspección de ascensores y la electrónica de potencia.

Wan Jianru es profesor en la Universidad de Tianjin en Tianjin, China. Sus campos de interés incluyen electrónica de potencia, tecnología de ascensores y controladores de motores de ascensores. Jianru ha completado 40 proyectos de investigación técnica, ha publicado cerca de 100 tesis y ha obtenido ocho patentes chinas. Se ha centrado en la industria china de ascensores y su técnica durante más de 30 años.

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