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Derivación de RTT de ascensor en condiciones de tráfico entrante y una entrada única

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por Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi y Ahmad Hammoudeh

RTT es la base para diseñar sistemas de ascensores. Existen varios métodos diferentes (tanto analíticos como numéricos) para calcularlo. A medida que las condiciones del tráfico de un edificio se vuelven más complicadas, los métodos analíticos se vuelven intratables. Los métodos numéricos ofrecen una alternativa atractiva para el cálculo del RTT, que es el tiempo que tarda el ascensor en completar un viaje completo de ida y vuelta, durante el cual recoge a los pasajeros en la entrada principal, los entrega a sus destinos en el edificio y regresa a la entrada principal. .

El uso del método MCMC es una alternativa viable a la simulación de Monte Carlo, que se ha utilizado para encontrar RTT. Este artículo deriva las fórmulas necesarias para construir la matriz de probabilidad de transición para el ascensor durante un viaje de ida y vuelta en condiciones de tráfico entrante y una sola entrada. Luego proporciona un ejemplo numérico que ilustra el uso práctico del método para evaluar RTT.

La evaluación de RTT es fundamental para el diseño de sistemas de tráfico de ascensores. Puede usarse para encontrar el número requerido de ascensores en un edificio, según los requisitos cuantitativos y cualitativos del usuario. [1] Puede lograrse utilizando métodos numéricos o basados ​​en ecuaciones analíticas [2 y 3]. [4] Los métodos analíticos están restringidos en su ámbito de aplicación, ya que no pueden abordar casos en los que no se alcanza la velocidad máxima en un recorrido de piso y en los que las alturas de piso no son iguales, aunque se han realizado algunos trabajos en esa área [5]. La ventaja de los métodos numéricos es que se pueden aplicar en cualquiera de los casos especiales, como la velocidad máxima no alcanzada en un recorrido de piso, alturas de piso desiguales, poblaciones de piso desiguales y entradas múltiples. El único método numérico que se utiliza actualmente para evaluar RTT es el método de Monte Carlo. [4]

Este artículo también presenta una metodología para derivar la matriz de probabilidad de transición. También se presenta una guía paso a paso para utilizar el método MCMC en la evaluación de RTT, junto con un ejemplo numérico de dicha evaluación. El método MCMC presentado aquí se limita al caso de un edificio de una sola entrada. El caso de entradas múltiples se aborda en su totalidad en “Evaluación del tiempo de ida y vuelta del ascensor para entradas múltiples y condiciones de tráfico entrante utilizando Markov Chain Monte Carlo” por Lutfi Al-Sharif y Ahmad Hammoudeh (www.inderscience.com/info/ingeneral/forthcoming. php? jcode = ijise).

La matriz de probabilidad de transición

Para utilizar el método MCMC para evaluar el tiempo de ida y vuelta, primero es necesario derivar la matriz de probabilidad de transición. [6] Cada elemento en la matriz de probabilidad de transición proporciona una posibilidad de que el ascensor se mueva a un piso j desde el piso i, dado que el ascensor se encuentra actualmente en el piso i. Esto se muestra a continuación:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-1-de-entrada-única
(Ecuación 1)

En la Tabla 1 se muestra un formato general para la matriz. Se puede ver que la diagonal es cero, ya que el ascensor no puede permanecer en el mismo piso. A medida que el tráfico entra, el tráfico no puede moverse a un piso debajo de él, excepto para regresar a la planta baja. El triángulo superior de la matriz representa las probabilidades de que el ascensor se mueva a un piso superior. La primera columna representa la probabilidad de volver a la planta baja. Tomando la expresión general para cada celda y expandiéndola da:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-2-de-entrada-única
(Ecuación 2)

Por lo tanto, la probabilidad de transición de los pisos i al j es igual a la probabilidad de no detenerse en ningún piso entre esos dos, deteniéndose en el piso i, dividida por la probabilidad de detenerse en el piso i en un viaje de ida y vuelta. Pero, vale la pena señalar que el evento "viaje desde el piso i al j en un viaje de ida y vuelta" es un subconjunto del evento "parando en el piso i en un viaje de ida y vuelta", como, por definición, para un viaje desde i para que j tenga lugar, el ascensor debe detenerse primero en el piso i. Esto se muestra en:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-3-de-entrada-única
(Ecuación 3)

Pero, si un evento A es un subconjunto de otro evento B, su intersección es el evento A. Entonces, la probabilidad en la Ecuación 2 se puede simplificar como se muestra a continuación:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-4-de-entrada-única
(Ecuación 4)

La sustitución de la Ecuación 4 en la Ecuación 2 da el siguiente resultado importante:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-5-de-entrada-única
(Ecuación 5)

Por lo tanto, los valores de cada fila deben dividirse por la probabilidad de detenerse en un piso. La planta baja es la única entrada. Así, por definición, el ascensor tiene que detenerse en ese piso para recoger a los pasajeros (P). Por lo tanto, la probabilidad de que el ascensor se detenga en este piso en un viaje de ida y vuelta es 1:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-6-de-entrada-única
(Ecuación 6)

La primera columna de la Tabla 2 representa la probabilidad de que cierto piso sea el piso de inversión más alto en un viaje de ida y vuelta, dado que el ascensor se detuvo en ese piso. Esto se muestra a continuación:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-7-de-entrada-única
(Ecuación 7)

Esto es igual a la probabilidad de que el i-ésimo piso sea el piso de inversión más alto y una parada en el i-ésimo piso, dividida por la probabilidad de detenerse en el i-ésimo piso en un viaje de ida y vuelta. Sin embargo, vale la pena señalar que el evento "el i-ésimo piso es el piso de inversión más alto" es un subconjunto del evento "pararse en el i-ésimo piso en un viaje de ida y vuelta", ya que, para que el i-ésimo piso sea el piso de inversión más alto piso (por definición), el ascensor debe detenerse en el i-ésimo piso para empezar. Esto se muestra a continuación:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-8-de-entrada-única
(Ecuación 8)

Pero, si un evento A es un subconjunto de otro evento B, su intersección es el evento A. Entonces, la probabilidad en la Ecuación 7 se puede simplificar como se muestra en la Ecuación 9:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-9-de-entrada-única
(Ecuación 9)

Sustituyendo la Ecuación 9 en la Ecuación 7 se obtiene el resultado importante:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-10-de-entrada-única
(Ecuación 10)

Por lo tanto, los elementos de la primera columna se pueden derivar dividiendo la probabilidad de que un piso sea el piso de inversión más alto, dividida por la probabilidad de detenerse en ese piso. La matriz de probabilidad de transición modificada final se muestra en la Tabla 2. Para derivar la matriz de probabilidad de transición, es necesario tener fórmulas para la probabilidad de los siguientes eventos:

  • La probabilidad de un viaje entre dos pisos sin detenerse en los pisos intermedios entre
  • La probabilidad de que un piso sea el piso de inversión más alto.
  • La probabilidad de detenerse en un piso.

Estas tres fórmulas se derivan en la siguiente sección.

ecuaciones

Se ha demostrado que la probabilidad de que un viaje tenga lugar entre dos pisos i y j (sin detenerse en ningún piso entre ellos) en un viaje de ida y vuelta viene dada por la siguiente expresión que se muestra en la Ecuación 11 a continuación: [5]

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-11-de-entrada-única
(Ecuación 11)

Para el caso especial en el que el ascensor comienza desde la planta baja (es decir, la entrada única), la Ecuación 11 se reduce a la siguiente ecuación de caso especial: [5]

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-12-de-entrada-única
(Ecuación 12)

La probabilidad de que el ascensor se detenga en un piso i durante un viaje de ida y vuelta depende de la población de ese piso y del número de pasajeros que abordan el automóvil, como se muestra a continuación: [5]

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-13-de-entrada-única
(Ecuación 13)

La planta baja es la única entrada. Por lo tanto, por definición, el ascensor tiene que detenerse en ese piso para recoger pasajeros (P). Por lo tanto, la probabilidad de que el ascensor se detenga en este piso en un viaje de ida y vuelta es 1.

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-14-de-entrada-única
(Ecuación 14)

Como se puede ver en la matriz de probabilidad de transición (para una disposición de entrada única), la primera columna representa la probabilidad de que un determinado piso sea el piso de inversión más alto, dado que se ha producido una parada en ese piso durante un viaje de ida y vuelta. La fórmula para la probabilidad de que un piso sea el piso de inversión más alto se muestra a continuación: [5]

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-15-de-entrada-única
(Ecuación 15)

También es necesario calcular el tiempo de viaje entre plantas. Este tiempo entre dos pisos cualesquiera iyj separados por una distancia (d), con una velocidad nominal de v, la aceleración nominal (a) y el tirón nominal (j) se pueden calcular como se muestra en las ecuaciones 16-18 para las tres condiciones diferentes. (velocidad nominal alcanzada, velocidad nominal no alcanzada pero aceleración nominal alcanzada y velocidad nominal no alcanzada y aceleración nominal no alcanzada, respectivamente): [7]

Velocidad nominal alcanzada: si:  

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-16-de-entrada-única
(Ecuación 16)

Velocidad nominal no alcanzada pero aceleración nominal alcanzada: si, entonces

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-17-de-entrada-única
(Ecuación 17)

No se alcanzó ni la velocidad nominal ni la aceleración nominal:

si entonces

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-18-de-entrada-única
(Ecuación 18)

Esto produce una matriz bidimensional que muestra el tiempo necesario para viajar entre los pisos i y j. En la Tabla 3 se muestra una representación de dicha matriz. Como puede verse, la diagonal es cero, ya que no se requiere tiempo para moverse al mismo piso. También se puede ver que el triángulo superior de la matriz sobre la diagonal es una imagen especular del triángulo inferior debajo de la diagonal.

Calculando RTT

La siguiente es una descripción general de los pasos a seguir para realizar una evaluación RTT utilizando el método de Markov Chain Monte Carlo:

  1. Desarrolle la matriz cinemática.
  2. Desarrolle la matriz de probabilidad de transición.
  3. Extraiga la función de densidad de probabilidad (PDF) para cada piso del edificio de la fila correspondiente en la matriz de probabilidad de transición.
  4. Convierta cada PDF obtenido en el paso 3 en una función de distribución acumulativa (CDF).
  5. Suponiendo que la posición inicial del ascensor es la entrada principal (piso G o 0), extraiga una muestra aleatoria del CDF producido a partir de la primera fila de la matriz de probabilidad de transición. Esto proporcionará el próximo destino del ascensor.
  6. Usando la fila que corresponde al próximo destino, use el CDF de esa fila para generar el próximo destino.
  7. Repita el paso 6 hasta que el ascensor regrese a la planta baja. Esto forma un viaje de ida y vuelta completo.
  8. Utilizando la matriz cinemática desarrollada en el paso 1, calcule el componente de tiempo de viaje del viaje de ida y vuelta.
  9. Basado en el número de paradas en el viaje encontradas en el paso 7, calcule el componente de tiempo de puerta del viaje de ida y vuelta.
  10. Con base en el número de pasajeros sobre los que se desarrolló la matriz de probabilidad de transición, calcule el componente de transición de pasajeros del viaje de ida y vuelta.
  11. El viaje de ida y vuelta es la suma de los tres términos en los pasos 8, 9 y 10.
  12. Repita los pasos 5 a 11 en un cierto número de pruebas (por ejemplo, 10,000), luego tome el promedio de todas las pruebas, obteniendo así el RTT.

Ejemplo numérico

Un edificio tiene cinco pisos (N) sobre la entrada principal (planta baja). La cabina del ascensor se llena con seis pasajeros; por tanto, P = 6 en la planta baja. El edificio tiene la misma altura de piso: df = 4.5 m. El tiempo de apertura de la puerta (tdo) es de 2 s. Y el tiempo de cierre de la puerta (tdc) es de 3 s. El tiempo de traslado de pasajeros al ascensor (tpi) es de 1.2 s .; para salir del ascensor (tpo), son 1.2 s. La velocidad nominal (v) es 1.6 ms-1; la aceleración nominal (a) es 1 ms-2; el tirón nominal (j) es 1 ms-3.

En la matriz de probabilidad de transición del ejemplo (Tabla 4), como se esperaba, la suma de los elementos en cualquier fila es 1, la diagonal es cero y el triángulo inferior es cero (excepto la primera columna). El PDF y el CDF para cada fila se generan y se utilizan para realizar un muestreo aleatorio para generar un viaje de ida y vuelta completo. Se generan números aleatorios y se utilizan para generar el movimiento del ascensor en el edificio de la siguiente manera:

  • Aleatorio () = 0.244: 0 a 1
  • Aleatorio () = 0.746: 1 a 3
  • Aleatorio () = 0.796: 3 a 5
  • De 5 a 0

Por lo tanto, el recorrido completo se convierte en 0 a 1, 1 a 3, 3 a 5, luego 5 a 0. Es necesario encontrar la matriz cinemática para calcular el primer término del RTT. Esto representa el tiempo requerido para que el elevador viaje entre dos pisos cualesquiera, comenzando a la velocidad nominal, aceleración y tirón. Estos tiempos se pueden calcular usando las ecuaciones 16-18. Estos se muestran en la Tabla 5 para este edificio y los parámetros cinemáticos de su ascensor.

El RTT consta de tres componentes. El primero de ellos es el tiempo de viaje:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-19-de-entrada-única
(Ecuación 19)

El segundo término es la hora de la puerta. Esto se puede calcular multiplicando el número de paradas durante el viaje por el tiempo de apertura y cierre de la puerta. El número de paradas en este caso es cuatro (paradas en 0, 1, 3 y 5):

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-20-de-entrada-única
(Ecuación 20)

El tercer y último término en la ecuación RTT representa el tiempo de embarque y desembarque del pasajero y se denota por τpag. Esto es fácil de calcular multiplicando el número de pasajeros por la suma del tiempo de embarque y desembarque por pasajero:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-21-de-entrada-única
(Ecuación 21)

Al agregar los tres términos de RTT, se obtiene la primera prueba de RTT:

Derivación-RTT-de-ascensor-bajo-condiciones-de-tráfico-entrante-y-ecuación-22-de-entrada-única
(Ecuación 22)

La repetición de este procedimiento 10,000 veces da un valor RTT final de 76.3231 s. El valor exacto usando la ecuación analítica es 76.4031 s.

Conclusión

Se ha descrito un conjunto claro de pasos para evaluar el valor RTT utilizando el método MCMC. Se han derivado las ecuaciones para desarrollar la matriz de probabilidad de transición de los movimientos del ascensor durante un viaje de ida y vuelta. Se ha dado un ejemplo práctico numérico que ilustra el uso del método para evaluar el RTT para un ensayo. El método es particularmente poderoso en los casos en que no existen ecuaciones analíticas para las condiciones especiales del edificio, como cuando no se alcanza la velocidad máxima en un viaje de piso y cuando hay alturas de piso desiguales.

Referencias
[1] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan y Osama F. Abdel Aal, “Metodología de diseño óptimo automatizado de sistemas de ascensores utilizando reglas y métodos gráficos (el plano HARint)”, Investigación y tecnología de ingeniería de servicios de construcción, agosto de 2013; vol. 34, 3: pág. 275-293 (publicado por primera vez el 12 de abril de 2012).
[2] GC Barney, Manual de tráfico de ascensores: teoría y práctica Spon Press, Londres y Nueva York (2003).
[3] The Chartered Institute of Building Services Engineers (CIBSE), CIBSE Guide D: Transportation Systems in Buildings, Cuarta edición, (2010).
[4] Lutfi Al-Sharif, Hussam Dahyat & Laith Al-Kurdi, "El uso de la simulación de Monte Carlo en el cálculo del tiempo de ida y vuelta del ascensor en condiciones de pico alto", Investigación y tecnología de ingeniería de servicios de construcción, volumen 33, número 3 (2012), pág. 319–338.
[5] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan & Rasha Khaleel, “Derivation of a Universal Elevator Round Trip Time Formula under Incoming Traffic”, Building Services Engineering Research and Technology 0143624413481685 (publicado por primera vez el 13 de junio de 2013 como doi: 10.1177 / 0143624413481685).
[6] Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones: Introducción, Novena edición (internacional), Pearson (2011).
[7] Richard D. Peters, “Cinemática de elevación ideal: derivación de fórmulas para las ecuaciones de movimiento de un ascensor”, International Journal of Elevator Engineers, 1996.
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Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi y Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi y Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif es profesor asociado en el Departamento de Ingeniería Mecatrónica de la Universidad de Jordania en Amman, Jordania. Al-Sharif trabajó para el metro de Londres durante nueve años, donde su último puesto fue el de gerente de entregas de ascensores y escaleras mecánicas. Tiene 13 artículos publicados en revistas revisadas por pares y es co-inventor de cuatro patentes. Obtuvo su doctorado en Análisis de tráfico de ascensores en 1992 de la Universidad de Manchester en el Reino Unido.

Hasan Algzawi se graduó en Ingeniería Mecatrónica de la Universidad de Jordania en enero de 2013. Sus intereses de investigación incluyen el uso de cadenas de Markov en sistemas de ingeniería de modelado.

Ahmad Hammoudeh ha trabajado con sistemas de energía en Dar Al Handasah desde 2012. Es ingeniero de diseño eléctrico y se graduó de la Universidad de Jordania con una licenciatura en Ingeniería Eléctrica en 2012. Sus intereses de investigación incluyen el análisis y la simulación del tráfico de ascensores.

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